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久しぶりの投稿、しかも旬がすぎたタイトルでの投稿です。 2018年は大企業特有の闇の1年研修を終え、ようやく研究業務を始められた年でした。 企業研究所の研究環境といえば、先日kumagi氏の例の記事がバズりましたね。 記事を読んで、企業研究所の研究環境はどこも似たり寄ったりで、弊社の研究環境も他と同程度には恵まれているのかなという感じがしました。 いろいろ言いたいことはありますが、自分は配属がアタリで、大学のように自由に研究させてもらえる部署だったこともあり、文句を言う前に成果を出さねばと言う気持ちです。 業務内容は物理に近い分野で、自分に馴染みが薄かったため、足りない知識を補うための勉強からはじめました。 業務時間に学べる環境は大変ありがたく、色々な本を発注しては読みふける日々を送っています。 初めのうちは熱統計や流体力学の本を読んでいたのですが、気がつけば仕事に直結しない数学の本まで仕入れ始めていました。 本記事ではその中で読んで良かったと思うものを紹介します。 まず田崎先生の「統計力学」です。 以前統計力学に触れたときは、何が仮定で何が結論かがわかりづらく感じたのですが、本書は納得できる仮定を列挙した上で、力学的な仕事をすべての出発点として議論を展開しているので、数学的にもWell-definedな本だと感じました。 また数理物理の本は行間を推測させるような最小限の記述に留められることが多いと思いますが、本書はそれとは真逆の読み物のような文体で書かれているので、初学者にもとっつきやすく感じられました。 とはいえ内容はしっかりしているため自分もすべて網羅できたわけではなく、今後も手に取り続ける本になりそうです。 統計力学〈1〉 (新物理学シリーズ) posted with amazlet at 19.01.02 田崎 晴明 培風館 売り上げランキング: 32,590 Amazon.co.jpで詳細を見る 統計力学〈2〉 (新物理学シリーズ) posted with amazlet at 19.01.03 田崎 晴明 培風館 売り上げランキング: 23,957 Amazon.co.jpで詳細を見る 次に山田先生の「工学のための関数解析」です。 さまざまな分野に登場する関数解析ですが、自分はとある論文の中で偏微分方程式の解の存在証明に半群の理論が出てきたため、勉強し始めました。 Twitterでおすすめされていた本書を試し読みなしにポチったのですが、これがかなり良くて、数学の厳密さを犠牲にすることなく、概念の「心」をしっかり伝えている本でした。 関数の連続性や収束性と聞くと身構えてしまいますが、「解析の対象が関数になっても、関数を距離で実数に写してあげて、そこで連続性や収束性を考えればよい」と宣言してあるのは目から鱗でした。 こちらもまだ読了したわけではなく、会社の同期と読み会を進めているところです（いつ終わるのやら）。 本書はスペクトル理論や半群の理論はカバーしていないため、読み終わったら次は黒田先生の「関数解析」を読もうと思います。 工学のための関数解析 (工学のための数学) posted with amazlet at 19.01.02 山田 功 数理工学社 売り上げランキング: 5,731 Amazon.co.jpで詳細を見る 関数解析 共立数学講座 (15) posted with amazlet at 19.01.03 黒田 成俊 共立出版 売り上げランキング: 192,246 Amazon.co.jpで詳細を見る 最後に兼清先生の「確率微分方程式とその応用」です。 確率過程は今まで何度も挑戦しようとした分野なのですが、前提知識が多すぎて挫折を繰り返してきました。 確率を数学の土台に乗せるには測度論の知識が必要ですし、確率過程のサンプルパスは関数になるので、収束性の議論などに関数解析の知識が必要になります。 そのため一から勉強を初めて確率過程の定義に辿り着くころには、土台の部分の知識を忘れてしまうという悲しい現実に直面します。 ...

$x(t)\in\mathbb R$の時間発展が、つぎの非線形ランジュバン方程式 $$ \dot x(t) = f(x(t)) + R(t) $$ で表されるとする。 ここで、$f:\mathbb R\to\mathbb R$は関数、$R:\mathbb R\to\mathbb R$はランダム力である。 $R(t)$はつぎの仮定を満たすとする。 $R(t)$はガウス過程。 すなわち、$t_1,\ldots,t_k$を選んだとき、$R(t_1,\ldots,t_k):=(R(t_1),\ldots,R(t_k))$が多次元正規分布に従う。 $\mathbb E[R(t)] = 0. $ $\mathbb E[R(t)R(t’)] = D\delta(t-t’)$, ただし$D$は正の定数。 $x(t)$と$R(t’)$が$t<t’$で独立。 時刻$t$に$x(t)$が$[x,x+dx]$にある確率を$p(x,t)dx$と定義する。 $p(x,t)$を分布関数という。 $p(x,t)$はつぎの仮定を満たすとする。 $x\to\pm\infty$で$p(x,t)\to 0. $ $x\to\pm\infty$で$\frac{\partial p(x,t)}{\partial x}\to 0. $ このとき、$p(x,t)$はつぎのフォッカープランク方程式に従う。 $$ \frac{\partial p(x,t)}{\partial t} = \left( -\frac{\partial }{\partial x}f(x) + \frac{\partial^2}{\partial x^2}\frac{D}{2} \right) p(x,t) $$ 証明はいろんなところに載ってる。 あとで追記するかも。

OpenCVは画像処理に触れたことのある人ならば知らない人はいないと言われるほど有名なライブラリですが、本日はそのモジュールの一つである、AR用ライブラリArUcoを用いて、物体の位置計測をしてみます。 ネットにはC++の記事がたくさん転がっているのですが、Pythonを用いた記事が少ないように感じたため、備忘録としてブログに残そうと思った次第です。 やりたいこと 机の上に座標系を設定し（横の辺が$x$軸、縦の辺が$y$軸とか）、机の上を動き回る物体（小型ロボットとか）の位置座標を、机を撮影するカメラの映像から推定したいです。 準備 PCにPythonはインストールされているとし、OpenCVのインストールから行います。 pip install opencv-contrib-python 動作確認を行いましょう。 import cv2 aruco = cv2.aruco help(aruco) それっぽい文章がわちゃわちゃ出てきたら、インストール成功です。 マーカー生成 ArUcoでは、QRコードのような2次元マーカーを生成し、画像中から生成されたマーカーを認識することができます。 画像の生成は以下のように行います。 dictionary = aruco.getPredefinedDictionary(aruco.DICT_4X4_50) for i in range(5): marker = aruco.drawMarker(dictionary, i+1, 100) cv2.imwrite('ar_marker'+str(i+1)+'.png', marker) ここで、getPredefinedDictionaryはマーカーが格納されている辞書を呼び出す関数であり、DICT_4X4_50は辞書の種類を表します。 また、forループの中では、drawMarkerでidが$i+1$のマーカーを呼び出し、imwriteで呼び出したマーカーを保存しています。 生成された画像はつぎのようになります。 今回マーカーは5つ呼び出しました。 1つは物体に設置し、認識するためのもので、残りの4つは座標変換のためのものです。 マーカー検出 画像中のマーカーを検出するためのコードが以下です。 img = cv2.imread('img.jpg') corners, ids, rejectedImgPoints = aruco.detectMarkers(img, dictionary) img_marked = aruco.drawDetectedMarkers(img, corners, ids) cv2.imwrite('img_marked.png', img_marked) detectMarkersで、画像からマーカーを認識します（たった一行！）。 戻り値であるcornersとidsは、それぞれ検出されたマーカーの座標とidが格納されたリストです。 先ほど生成された画像をモニタに表示させ、手元のカメラで撮影したものを認識させてみました。 結果がつぎのようになります。 座標変換 ArUcoでは、画像中のマーカーの位置を検出することができますが、その位置座標は机の上の座標と必ずしも一致しません。 このため、机の上に座標変換用のマーカーを設置し、それらを用いて座標変換を行うことにします。 この作業は、ArUcoではなく、OpenCVライブラリによって実現できます。 ...

デルタ関数って結局何なの？ 工学の至る所で現れるデルタ関数。これはよく $$ \delta(t):= \begin{cases} \infty, & t=0\\newline 0, & t\ne 0 \end{cases}, $$ $$ \int_\infty^\infty \delta(x-y)f(y)dy = f(x), $$ $$ \int_\infty^\infty \delta(t)dt = 1 $$ を満たす関数 $\delta$ という風に定義されていますが、「 $t=0$ は測度0なので、その積分は0になるのでは」と考えたことがある人は多いのではないでしょうか。 実はこの定義は不正確なものであり、「超関数」という概念によって、正確に定義することができます。 超関数の定義 ある数値を入力するとある数値を出力する装置のことを、関数といいます。 これに対して、ある関数を入力するとある複素数を出力するような装置のことを、汎関数といいます。 汎関数 $F$ に関数 $\phi$ を入力した時の出力値を $F[\phi]$ 、または $\langle F, \phi \rangle$ と書きます。以下では後者の書き方を用います。 全区間で無限回微分可能で、関数値が0でないところが有界区間に限られるような関数の全体からなる集合を $\mathcal D$ とします。 $\mathcal D$ 上に属する関数 $\phi$ をテスト関数と呼びます。 また、 $\mathcal D$ を定義域とする汎関数を $\mathcal D$ 上の汎関数と呼びます。 ここで、シュワルツの超関数は、つぎのように定義されます。 汎関数 $F$ が、 $\langle F, \phi_1 + \phi_2\rangle = \langle F, \phi_1\rangle + \langle F, \phi_2\rangle,$ $\langle F, c\phi\rangle = c\langle F, \phi\rangle\ (c\in\mathbb K),$ テスト関数の列 ${\phi_n}$ が $n\to\infty$ で $\phi$ に収束する時、 $\langle F, \phi_n\rangle$ もまた $\langle F, \phi\rangle$ に収束する を満たすとき、 $F$を超関数という。 ...

$d$個の数値を並べた変数$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_d)^{\mathrm T}$から、 $y$という変数を推定する多変量の回帰問題を考えます。 サンプルデータは$n$組あるとし、$i$番目のサンプルを$\mathbf{x}^{(i)}, y^{(i)}$と書くことにします。 線形モデル まず、カーネルを使わない線形モデル $$y = \mathbf w^\mathrm T \mathbf x$$ を考えましょう。これは、データを原点を通る直線で当てはめることを意味します。 直線からのズレに対して、損失を $$r(y,\mathbf{x};\mathbf{w}) = (y-\mathbf w^\mathrm T \mathbf x)^2$$ として定義し、全てのサンプルの総和 $$R(\mathbf{w}) = \sum_{j=1}^n r(y,\mathbf{x};\mathbf{w})$$ を考えます。$R(\mathbf{w})$は $$\mathbf y := \left( \begin{array}{ccc} y^{(1)}\newline y^{(2)}\newline \vdots\newline y^{(n)} \end{array} \right) $$ $$X := \left( \begin{array}{ccc} x_1^{(1)} & \cdots & x_d^{(1)}\newline x_1^{(2)} & \cdots & x_d^{(2)}\newline \vdots& & \vdots\newline x_1^{(n)} & \cdots & x_d^{(n)} \end{array} \right) $$ を用いて、 $$R(\mathbf{w})=(\mathbf y-X\mathbf w)^\mathrm T(\mathbf y-X\mathbf w)$$ ...

概要 今流行りの深層学習で日経平均株価を予想してみました。 結論から言えば、全く予想できず、惨敗でした。 LSTMとは LSTMとはリカレントニューラルネットワーク（RNN）と呼ばれる機械学習手法の一つです。 RNNを用いることで、現在と過去一定時間の時系列データから、未来のデータを予測することができます。 また、RNNを改良したLSTMでは、長期のトレンドが反映されやすいとされています。 詳しくはこちらのサイトをご覧ください。 学習データとかモデルとか こちらのサイトから、過去4ヶ月の1時間足のデータをダウンロードし、学習データとして用いました。 モデルの隠れ層のユニット数は100、過去20時間の株価から1時間先の株価を予測するモデルを用いました。学習方法はAdamを用いました。 実装 Keras(TensorFlow)を用いて実装しました。初めて使ったんですが、短く書けて便利ですね。以下、ソースコードを載せておきます。 # coding: utf-8 import numpy as np from keras.models import Sequential from keras.layers import Dense, Activation from keras.layers.recurrent import LSTM from keras.optimizers import Adam from keras.initializers import TruncatedNormal from keras.callbacks import EarlyStopping from sklearn.model_selection import train_test_split import matplotlib.pyplot as plt import seaborn import pandas as pd df = pd.read_csv('~/deep_learning/csv/nikkei4_7.csv') x = df['始値'] / df['始値'].max() f = list(x) length_of_sequences = len(f) maxlen = 20 data = [] target = [] for i in range(0, length_of_sequences - maxlen): data.append(f[i:i+maxlen]) target.append(f[i+maxlen]) X = np.array(data).reshape(len(data), maxlen, 1) Y = np.array(target).reshape(len(data), 1) N_train = int(len(data)*0.9) N_validation = len(data) - N_train X_train, X_validation, Y_train, Y_validation = \ train_test_split(X, Y, test_size=N_validation) n_in = len(X[0][0]) n_hidden = 100 n_out = len(Y[0]) weight_hidden = TruncatedNormal(stddev=np.sqrt(1/n_hidden)) weight_out = TruncatedNormal(stddev=np.sqrt(1/n_out)) model = Sequential() model.add(LSTM(n_hidden, init=weight_hidden, input_shape=(maxlen, n_out))) model.add(Dense(n_out, init=weight_out)) model.add(Activation('linear')) optimizer = Adam(lr=0.001, beta_1=0.9, beta_2=0.999) model.compile(loss='mean_squared_error', optimizer=optimizer) epochs = 500 batch_size = 10 early_stopping = \ EarlyStopping(monitor='val_loss', patience=10, verbose=1) hist = model.fit(X_train, Y_train, epochs=epochs, batch_size=batch_size, validation_data=(X_validation, Y_validation), callbacks=[early_stopping]) ## predict 1 step future original = [f[i] for i in range(length_of_sequences)] predicted = [None for i in range(maxlen)] for i in range(1, length_of_sequences - maxlen): Z = X[:i] z_ = Z[-1:] y = model.predict(z_) predicted.append(y[0][0]) plt.figure() plt.plot(original, label="original") plt.plot(predicted, label="predicted") plt.legend() plt.xlabel("step") plt.ylabel("price") plt.show() 結果 上のスクリプトを走らせた結果、つぎの結果が得られました。 一見予測できているように見えます。 しかしながら、ズームしてみると、 このように、実際の動きから遅れていることがわかります。 これでは全く意味がありません。 世の中そんなに甘い話はありませんね。 ...

交渉というと、心理的駆け引きがものをいう、才能が支配する活動であり、自分のような口下手には縁遠いものだという印象がありました。 しかしながら、本書は「交渉には理論があり、後天的に交渉力は獲得できる」という立場のもと、その基礎的な理論を紹介しています。 もっとも基礎的なこととして、交渉は準備が8割であり、始める前につぎの3つを決めるべきだとあります。 ミッション（Mission）：交渉の軸となるもの。 ゾーパ（ZOPA, Zone Of Possible Agreement）最高と最低の2段構えの幅のある目標 バトナ（Best Alternative To Negotiated Agreement）：ミッションを達成できなかったときの代替選択肢。 また、これらを定める前後で、違いを取り巻く状況を把握するために、マップやツリーを書いてみることは、状況を俯瞰したり、問題点を分解したりする際に役立ちます。 交渉中、お互いの考えを把握するために、ブレイン・ストーミング、いわゆるブレストを行うことも非常に有効だとあります。 ただし、ブレストをする上で絶対に守らなければいけないこととして、 はじめに最後に行うことを決めておく アイデアの批判と評価を混在しない 取りうる選択肢を決める際は、軸を決めて比較し、決定する などがあります。 相手との長期的な関係を求めている場合、下手な交渉テクニックを使うことはあまり得策ではないそうです。 このような交渉テクニックとして フットインザドア：最初に取るに足らないような要求を提示し、小さなイエスを引き出す、その上で徐々に要求をエスカレートさせていく。 ドアインザフェイス：最初に課題な要求を出して相手にノーと言わせ、条件を下げて本来の要求を出す。 ニブリング：一旦合意に達した後、相手の気が緩んだところに追加条件を提示し、受諾させる。 タイムプレッシャー：アイスブレイクの時に相手の交通手段などを聞き出し、デットラインを把握。その上で交渉の最終条件の提示をそのデットライン近くまで遅らせ、プレッシャーを与える。 などがあります。 最後に、交渉を成功させる秘訣は、決して感情的にならず、なるべく第三者の視点から交渉に臨むことです。 これから社会人になる身として、学ぶべきことが多く書かれていた本書は、ぜひ手元に置いておきたい本だと感じました。

GPIFによるデータ GPIF（年金積立金管理運用独立行政法人）は、厚生年金と国民年金の積立金の管理・運用を行っている団体です。 この団体は、定期的に各金融商品のリスクとリターン、相関係数について評価しており、それらをもとに積立金の運用のためのポートフォリオを決定しています。 ただし、ここでの金融商品とは、会社ごとの株式などではなく、TOPIXや日経225などに代表される、株式市場の株価指数を指すこMとに注意してください。 GPIFは、金融商品を 国内債券 国内株式 海外債権 海外株式 の4つに分けて評価をおこなっており、それぞれのリターン、リスク、相関係数の値は2016年公開のこちらの資料によると、つぎのようになっています。 リターン（リスクプレミアムなし） 国内債券 国内株式 海外債権 海外株式 2.3 5.9 3.6 6.3 リスク 国内債券 国内株式 海外債権 海外株式 4.2 25.23 11.82 26.76 相関係数 国内債券 国内株式 海外債権 海外株式 国内債券 1.000 -0.230 -0.040 -0.090 国内株式 -0.230 1.000 0.060 0.660 海外債権 -0.040 0.060 1.000 0.550 海外株式 -0.090 0.660 0.550 1.000 今回はこれらの金融商品に加えて、「定期預金」も考慮したポートフォリオを最適化したいと思います。 ここで、定期預金のリターンは0.1、リスクは0、他の金融商品との相関係数は全て0としました。 いくつかの資料によれば、ポートフォリオを最適化するにあたって、リスク資産と無リスク資産は分けて考えるのが定石のようです。 しかしながら自分には「無リスク資産をリスク0のリスク資産としてみなす」ことが、何故まずいことなのかよく理解できなかったので、今回は「定期預金」もポートフォリオに加入してみた次第です。 このあたりに詳しい方がおられましたら、ぜひご教授ください…… CVXOPTを用いた最適化 さて、以上のデータを用いて前回紹介した2次計画問題を解くために、Pythonでスクリプトを作成しました。 作成したスクリプトの中では、CVXOPTというソルバー（問題を自動で解いてくれるツール）を用いています。 CVXOPTの使い方は、こちらの記事が参考になります。 ソースコード import numpy import cvxopt from cvxopt import matrix import matplotlib.pyplot as plt mu = numpy.array([[2.3,5.9,3.6,6.3,0.1]]) Sigma = numpy.diag([4.2,25.23,11.82,26.76,0]) R = numpy.array([[1.000,-0.230,-0.040,-0.090,0.000], [-0.230,1.000,0.060,0.660,0.000], [-0.040,0.060,1.000,0.550,0.000], [-0.090,0.660,0.550,1.000,0.000], [0.000,0.000,0.000,0.000,1.000]]) Cov = Sigma@R@Sigma print(numpy.linalg.matrix_rank(Cov)) P = matrix(Cov) q = matrix(numpy.zeros((5,1))) Id = numpy.identity(5) G = matrix(-numpy.concatenate((Id,mu), axis=0)) A = matrix(numpy.ones((1,5))) b = matrix(100*numpy.ones((1,1))) Return_bound = numpy.linspace(0,6.7,50) Return = numpy.array([]) Risk = numpy.array([]) Allocations = numpy.array([]) for re_bound in Return_bound: h = matrix(numpy.array([0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,-re_bound*100])) sol = cvxopt.solvers.qp(P,q,G,h,A,b) Sol = sol["x"] Allocations = numpy.append(Allocations,Sol) re = Sol.T@mu.T/100 Return = numpy.append(Return,re) ri = (Sol.T@Cov@Sol/10000)**0.5 Risk = numpy.append(Risk,ri) print(Risk) print(Return) fig = plt.figure() plt.plot(Risk,Return) plt.xlabel("予想リスク（標準偏差）") plt.ylabel("期待リターン [%]") plt.show() Allocations = Allocations.reshape(Return_bound.size,5) Allocations = Allocations.T fig = plt.figure() wd = 5/Return.size p1 = plt.bar(Return, Allocations[0], width = wd, color = "red", label = "国内債権") p2 = plt.bar(Return, Allocations[1], width = wd, bottom=Allocations[0], color = "orange", label = "国内株式") p3 = plt.bar(Return, Allocations[2], width = wd, bottom=sum(Allocations[0:2,:]), color = "yellow", label = "海外債権") p4 = plt.bar(Return, Allocations[3], width = wd, bottom=sum(Allocations[0:3,:]), color = "green", label = "海外株式") p5 = plt.bar(Return, Allocations[4], width = wd, bottom=sum(Allocations[0:4,:]), color = "blue", label = "預金") plt.legend() plt.xlabel("期待リターン [%]") plt.ylabel("資産配分 [%]") plt.xlim([0.1,6.7]) plt.ylim([0,100]) plt.show() plt.close('all') 実行結果 まず、期待リターンに対しての最小リスクを示した図を示します。 「ハイリスク・ハイリターンの原則」に従い、リターンに対してリスクが単調に増加していることがわかります。 ...

ポートフォリオ最適化 複数の金融商品の組み合わせのことを「ポートフォリオ」といいます。 あなたはAとBを購入する際、そのポートフォリオを調節することで、リスクをできるだけ小さくしながら、リターンをできるだけ大きくしようと思っています。 けれども、「ハイリスクハイリターンの原則」により、それらを限りなく小さくすることはできません。 しかしながら、あなたがもし「望ましいリターン」を決めたときに、「そのリターンを達成し、かつ最もリスクを小さくするポートフォリオ」を求めることは可能です。 このことを「ポートフォリオ最適化」といいます。 この問題を数学的に記述しましょう。 $n$個の金融商品を考えます。 それぞれの商品には$1,\ldots,n$とラベルが振られているとします。 それぞれの商品のリターンを$\mu_1,\ldots,\mu_n$とします。 それぞれの商品のリスクを$\sigma_1,\ldots,\sigma_n$とし、それらを対角に並べたものを$\Sigma$とします。 つまり $$ \Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_1 & \cdots & 0\ \vdots & \ddots & \vdots\ 0 & \cdots & \sigma_n \end{bmatrix} $$ です。 商品$i$と$j$の間の相関係数を$r_{ij}$とし、それらを縱橫にならべたものを$R$としましょう。 つまり $$ R = \begin{bmatrix} r_{11} & \cdots & r_{1n}\ \vdots & \ddots & \vdots\ r_{n1} & \cdots & r_{nn} \end{bmatrix} $$ です。 それぞれの商品の購入割合（つまりポートフォリオ）を$w_1,\ldots,w_n$とし、これらを縦に並べたものを$w$とします。 あなたはポートフォリオ$w$を決めることで期待リターン$\nu$を達成したいとしましょう。 このとき、ポートフォリオ最適化問題はつぎのように定式化できます。 最小化すべき目的関数は $$ w^\mathrm{T}\Sigma R \Sigma w\ $$ です。これは全体のリスクを表します。 また、制約条件は $$ w_i \ge 0 \ \forall i = 1, \ldots, n,\ \sum_{i} w_i = 1,\ \sum_{i} w_i\mu_i \ge \nu $$ です。 一つめの不等式は、かく商品の購入割合が正の値であることを表し、2つめの等式は、購入割合の合計が1であることを表します。 また最後の不等式は、全体のリターンが期待リターン$\nu$を上回ることを意味します。 ...

なぜ分散投資が有効なのか ここに2つの金融商品があったとしましょう。 それぞれの金融商品は「リスク」と「リターン」という特徴量を持っているとします。 リスクは将来予想される値動きの幅を表し、リターンは将来予想される価値の上昇率を表します。 確率の言葉を使うと、リスクは標準偏差、リターンは平均に対応しています。 経済学の言葉に、「ハイリスクハイリターンの原則」というものがあります。 これは、ローリスクかつハイリターンな商品はあり得ないということを表すものです。 例えば、銀行の定期預金などはローリスクである代わりに、リターンも小さくなります。 一方で、株式などはハイリターンが期待できますが、値動きが読めない分ハイリスクであると言えます。 また、2つの金融商品のペアは、「相関係数」という特徴量を持っているとします。 これは、2つの金融商品がどの程度連動して値動きするかを表します。 例えば相関係数が正の値なら、片方の商品が値上がりしたとき、もう片方の商品も値上がりすることが多いことを意味し、相関係数が負の値なら、片方の商品が値上がりしたとき、もう片方の商品は値下がりすることが多いことを意味します。 投資の世界には「卵は１つのカゴに盛るな」という言葉があります。 これは、金融商品を分散して買うことで、リターンを維持しつつ、トータルのリスクを減らすことを推奨する言葉です。 例えば今、2つの金融商品の片方をA、もう片方をBとしましょう。 Aのリターンは5、リスクは10であるとします。 またBのリターンは10、リスクは20であるとします。 さらに、AとBの相関係数は-0.5であるとします。 ここで、片方の金融商品を買ったときと、両方を分散して買ったときの、「リターン/リスク」を求めてみましょう。 この値は、リスクに対してリターンがどれだけ大きいかを示すもので、大きいほどお買い得ということを意味します。 まず、片方の金融商品を買ったとき、両金融商品とも、リターン/リスクは0.5です。 つぎに、AとBを半分ずつ購入したときのリターンとリスクを求めてみましょう。 ここでAとBそれぞれのリターンとリスクが$\mu_A, \mu_B, \sigma_A, \sigma_B$、相関係数が$r_{AB}$であるとし、また二つの商品を$w_A:w_B$の割合で購入したとき、合計のリターン$\mu$とリスク$\sigma$は $$ \mu = w_A \mu_A + w_B \mu_B, $$ $$ \sigma = \sqrt{ (w_A \sigma_A)^2 + 2(w_A w_B r_{AB}\sigma_A\sigma_B) + (w_B \sigma_B)^2 } $$ として求められます。 このことを用いると、分散投資したときのリターンは $$ 0.5\times 5 + 0.5\times 10 = 7.5 $$ となり、リスクは $$ \sqrt{ (0.5\times 10)^2 + 2(0.5\times 0.5\times (-0.5)\times 10\times 20) + (0.5\times 20)^2 } = 8.660 $$ となることがわかります。 ...